|
|
Поиск по всей базе задач и всему сайту |
|
|
Новое на форуме
|
Популярное на форуме
|
|
Программа курса "Высшая математика"
| |
| bovali | Дата: Пятница, 01.10.2010, 09:08 | Сообщение # 1 |
 Admin
Группа: Администраторы
Сообщений: 908
Статус: Offline
| 1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.
2. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n-го порядка.
3. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элемен-тарными преобразованиями.
5. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод реше-ния невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
6. Декартова и полярная система координат. Векторы в пространстве и линейные опера-ции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векто-ров. Понятие базиса. Координаты вектора.
7. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов.
8. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме.
9. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Усло-вие компланарности трёх векторов.
10. Прямая на плоскости и способы её задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
11. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее урав¬нение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
12. Плоскость в пространстве и различные формы её задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
13. Прямая в пространстве и способы её задания. Угол между прямыми. Взаимное распо-ложение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельно-сти и перпендикулярности прямой и плоскости.
14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности враще-ния. Цилиндрические и конические поверхности.
15. Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и незави-симость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов. Преоб-разование координат вектора при замене базиса.
16. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и орто-нормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
17. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными опера-торами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
18. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристиче-ское уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.
19. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к канониче-скому виду ортогональным преобразованием. Знакоопределённые квадратичные формы. Усло-вия знакоопределённости квадратичных форм. Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка.
20. Комплексные числа и действия над ними. Поле комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Сопряжённые числа.
21. Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.
22. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби. Методы вычисления коэф-фициентов разложения.
1.2. Введение в математический анализ
I. Множества и действия над ними. Элементы математической логики. Логи¬ческие симво-лы. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод математической индукции. Бином Ньютона.
2. Поле действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неогра-ниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества.
3. Понятие предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последователь-ностей. Монотонные последовательности, критерий их сходимости. Число е. Натуральные лога-рифмы.
4. Функция. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точ-ке. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Заме-чательные пределы.
6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов.
7. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема Коши о промежуточном значении. Обратная функция и её непрерывность.
1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производная функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Таблица производных. Дифференцирование функций, за-данных параметрически и неявно.
2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.
3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
4. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределённостей. Правило Лопиталя.
5. Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора и их приложения.
6. Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.
7. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Понятие об эволюте и эвольвенте. Век-торная функция скалярного аргумента: определение, предел, непрерывность. Дифференцирова-ние векторной функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная пря-мая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Кривизна и кручение пространствен-ной кривой. Формулы Френе.
1.4. Интегральное исчисление функций одной переменной
1. Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле и интегрирование по частям.
2. Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей.
3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции.
4. Понятие определённого интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и доста-точные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочно-непрерывных функций.
5. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Фор¬мула Нью-тона-Лейбница.
6. Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям оп-ределённого интеграла.
7. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения.
8. Физические приложения определённых интегралов: вычисление работы; пути; давле-ния; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции.
9. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость.
1.5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1. Множества на плоскости и в пространстве. Функции многих переменных (ФМП). Пре-дел ФМП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке и на множе-стве.
2. Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП и его связь с частными производны-ми. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
3. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению ФМП и градиент. Каса-тельная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
4. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производ-ных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. По-нятие неявной ФМП, её существование и дифференцирование.
5. Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточные условия экстремума. Метод наименьших квадратов. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Ус-ловный экстремум; метод множителей Лагранжа.
1.6. Интегральное исчисление функций многих переменных
1. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Переме-на порядка интегрирования в повторном интеграле.
2. Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе коор-динат.
3. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометриче-ский смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
4. Приложения кратных интегралов: вычисление объёмов; площадей; статических момен-тов; центра тяжести; моментов инерции.
5. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого рода. Прило-жения криволинейных интегралов первого рода.
6. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Прило-жения криволинейных интегралов второго рода. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.
7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интег-рирования.
8. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода (ПОВИ-1), его вычисле-ние, свойства, приложения.
9. Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация дву-сторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода (ПОВИ-2), его вычисление и свойства. Формулы Остроградского и Стокса. Связь ПОВИ-1 и ПОВИ-2.
1.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Общее и частное решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема сущест-вования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Поле направлений, изоклины.
2. Примеры ДУ первого порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися пере-менными; однородные; в полных дифференциалах; линейные; Бернулли.
3. Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и един-ственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Структура общего решения неоднородных линейных ДУ высших порядков.
4. Линейные однородные ДУ высших порядков, свойства их решений. Линейная зависи-мость и независимость системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициен¬тами и специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных.
5. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристиче-ское уравнение. Линейное неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.
6. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка. Устойчивость нелинейных систем по первому приближению. Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем.
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравне-ния.
2. Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля.
3. Дивергенция векторного поля. Её физический смысл. Формула Остроградского–Гаусса.
4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор век-торного поля. Формула Стокса и ее физический смысл.
5. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лап-ласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сфериче-ских координатах.
1.9. Интегралы, зависящие от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференциро-вание и интегрирование.
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегри-руемости НИЗОП.
3. Гамма-функция, бетта-функция и их применение.
1.10. Числовые и функциональные ряды
1. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; при-знаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
2. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Не-прерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.
3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Не-прерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степен-ного ряда.
4. Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Доста-точные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
5. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определен-ных интегралов.
1.11. Ряд и интеграл Фурье
1. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фу-рье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для функ-ций с периодом 2, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме.
2. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье.
1.12. Элементы теории функций комплексной переменной
1. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
2. Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и ар-гумента производной. Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана. Связь аналити-ческих и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные преобразования.
3. Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная форму-ла Коши.
4. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной облас-ти: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементар-ных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация.
5. Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.
6. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов.
1.13. Операционное исчисление
1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа: линейность; подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свёртки. Форму-ла обращения преобразования Лапласа. Теоремы разложения.
2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, уравнений с частными производными.
1.14. Уравнения математической физики
1. Вывод основных уравнений математической физики: колебаний струны; теплопровод-ности.
2. Методы Даламбера и Фурье решения уравнений математической физики.
3. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.
4. Метод сеток решений уравнений математической физики.
1.15. Теория вероятностей
1. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания.
2. Пространство элементарных событий, алгебра событий. Относительная частота и веро-ятность события. Аксиоматическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения.
3. Условная вероятность. 3ависимые и независимые события. Формула полной вероятно-сти, формулы Байеса.
4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Случайные величины. Функция распределения случайной величи-ны, ее свойства. Дискретные случайные величины, полигон распределения. Непрерывные слу-чайные величины, функция и плотность распределения.
5. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Моменты случайной величины.
6. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения, закон распреде-ления Пуассона, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нор-мальный закон распределения. Функция Лапласа, правило трёх сигм.
7. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Тео-ремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова.
8. Системы случайных величин (случайные векторы). Функция и плотность распределе-ния систем двух случайных величин, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в за-данную область. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики сис-тем случайных величин. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент. Коэф-фициент корреляции.
1.16. Математическая статистика
1. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистиче-ские ряды. Числовые характеристики выборки. Полигон и гистограмма.
2. Основные статистические распределения: -распределение, распределение Фишера и Стьюдента.
3. Статистические оценки параметров. Точечные и интервальные оценки. Методы нахож-дения точечных оценок: метод моментов Пирсона, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Интервальные оценки: доверительный интервал, уровень значимости. Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной диспер-сии.
4. Статистическая проверка гипотезы. Ошибки первого и второго родов. Проверка гипо-тезы о равенстве математических ожиданий. Критерии согласия Неймана-Пирсона, -Пирсона, А. Н. Колмогорова.
5. Понятие о регрессионном и корреляционном анализе. Линейная регрессия. Определе-ние параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
6. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ БЫСТО и НЕДОРОГО на www.bovali.ucoz.ru
MP3 - симфония формул и логики
|
| |
| |
|
